Zorizko aldagaia (ausazko aldagaia)

KategoriakEstatistika

Intuitiboki, ez ordea formalki, zorizko aldagaia edo ausazko aldagaia zorizko esperimentu baten emaitzei esleitzen zaizkien zenbakizko balioen multzoa da. Adibidez, txanpon bat jaurtitzen dugunean, lagin-espazioa aurpegi eta gurutze (busti eta lehor) gertaerek osatzen dute $(\Omega =\{O, X\})$ ; orduan, zorizko aldagai bat izango genuke 0 balioa aurpegiari eta 1 emaitza gurutzeari esleitzen diogunean. Adiera arruntean, esan liteke zorizko edo ausazko aldagai bat zoriz edo aldakortasunez gertatzen diren zenbakizko balioen multzoa dela, hala nola dado bateko puntuazioa, makina batean egun jakin batean gertatzen den matxura-kopurua, irakasgai batean ikasle batek lortzen duen kalifikazioa eta denda bateko eguneko salmentak.

Hala ere, kontzeptuaren tratamendu matematikoak definizio formalagoa eta zehatzagoa eskatzen du, aurreratuz horretarako zorizko aldagaia ez dela benetan aldagai bat, funtzio bat baizik, eta funtzio hori ez dela zorizko edo ausazkoa, guztiz determinista baizik. Goazen pausoz pauso.

Gogoan izan behar da probabilitate-espazio bat $(\Omega,\mathcal {F}, P)$ hirukote bat dela, $\Omega$ lagin-espazio bati $\mathcal {F}$ sigma-aljebra bat duena, zeinaren gertaeren arteko osaketa, bilketa eta ebaketak eginda sortzen diren gertaerak ere sigma-aljebran dauden. Adibidez, $S =\{\emptyset, (1,2,3), (4,5,6),\Omega\}$ multzoa dado bat jaurtikiz eskuratzen den puntuazioari loturiko sigma-aljebra bat da, bertako multzoen arteko edozein eragiketaren emaitza jada sigma-aljebran bertan dagoen multzo bat delako. Beste alde batetik, P probabilitate-neurri bat da, sigma-aljebrako elementu bakoitzari [0,1] tarteko zenbaki bat esleitzen dion funtzioa, probabilitatea alegia, sigma-aljebrako multzo disjuntuetarako batukorra (probabilitateak batu egin behar dira bilketaz lortzen den gertaera baten probabilitatea emateko), 0 dena multzo hutserako eta 1 lagin-espazio edo unibertsoari. Baldintza horietatik, gertakari posibleen konbinazio guztietarako probabilitateak kalkulatzeko ohiko arauak ondoriozta daitezke.

Zorizko aldagaia $X:\Omega\longrightarrow\mathbb {R}$ funtzio bat da; hau da, lagin-espazioaren emaitza bakoitzari zenbaki erreal bat (hizkera arruntean zorizko aldagai deitzen duguna) ematen dion funtzio bat da. Hala ere, zenbaki errealen multzoan lan egiten dugunean, normalean ez ditugu balio zehatzak kontuan hartzen, baizik eta "baino handiagoa", "baino txikiagoa edo berdina" eta abar motako tarteak osatzen ditugu maiz, $\mathcal {B}$ edo boreldar deitzen ditugunak. Modu logikoan jardun nahi badugu, boreldar horien alderantziko irudiak probabilitate-espazioan aurretik ezarritako sigma-aljebran $\mathcal {F}$ egon beharko lirateke. Adibidez, ausazko aldagai gisa kontatzen badugu zenbat aldiz jaurtitzen dudan txanpon bat aurpegia lortu arte eta 4 aldiz edo gutxiago jaurtitzeko probabilitatea kalkulatu nahi badut, {O, XO, XXO, XXXO}, {O, XO, XXO}, {O, XO} eta{O} gertaerek sigma-aljebran egon behar dute, probabilitate-espazioaren P probabilitate-neurriari esker $X\leq 4$ aldagaiaren balioari probabilitate bat esleitu ahal izateko. Boreldar guztientzat $x\leq 4$ tarterako egin dugun egiaztapena egitea oso neketsua da, baina zorizko aldagaiaren karakterizazioak edo "lasterbideak" daude, zorizko aldagaia ondo eratuta dagoela modu eraginkorragoan egiaztatzeko. Lasterbide horietako batek ezartzen du nahikoa dela $X ^ {-1} (X\leq x)\in\mathcal {F}$ betetzea ausazko aldagai bat modu koherentean definitzeko. Beraz, hasieran baino zorrotzago honela definitzen ausazko aldagaia: